John William Waterhouse'a ait, Pandora adlı tablo: "Ancak Pandora, merakına yenik düşer ve bir gün bu çömleği açar ve çömlek içindeki kötülükler Dünya’ya yayılırlar."

1949 tarihli "Fevkalade Çekiliş Bileti" - (Nimetabla.com)

Üzerinize yıldırım düşmesi sonucu hayatınızı kaybetme olasılığınız sayısal lotoyu
tutturma olasılığından 165 kat yüksektir, ancak insanlar sayısal lotoda tutturma
ihtimaline yıldırım düşmesi ihtimalinden daha çok inanırlar.
(Kaynak: Flickr, YanivG - Lisans: CC BY-NC-SA 2.0)

İnsanlar, rahat bir kazanca ve buna bağlı olarak zahmetsiz zenginleşmeye inanmaya meyillidirler. İlginçtir ama, özel bir fobimiz yoksa, olumsuzluklara olan inançlarımız genelde olumlu olanlara göre daha zayıftır. Burada inançlarımızın ve ümitlerimizin kendimize kıyak geçtiğini düşünebiliriz. Gelin popüler şans oyunlarının büyük ikramiyet tutturma olasılıklarına bakalım [1]:

Sayısal Loto’da altı tutturma olasılığı yaklaşık 14 milyonda 1’dir. (1/13.983.816)

Şans topunda ise yaklaşık 4 milyonda 1’dir.
(1/3.895.583)

On numarada ise 2,5 milyonda 1’dir.
(1/2.546.203)

Aşağıda ise 2001 yılında ABD vatandaşlarının verileri kullanılarak hesaplanmış bir takım ölüm riskleri var [2]:

Elektrik çarpması sonucunda ölme olasılığı ise 5000’de 1’dir. (1/5.000)
Uçak kazasında ölme olasılığı 20000’de 1’dir. (1/20.000)
Bir selde ölme olasılığı 30000’de 1’dir. (1/30.000)
Yıldırım düşmesi sonucunda ölme olasılığı 83930’da 1. (1/83.930)
Köpek saldırısı 147717’de 1. (1/147.717)
Havai fişek gösterisi sırasında bir patlamada ölme olasılığı ise 615.488’de 1. (1/615.488)

Yani yağmurlu bir havada bir kolon sayısal loto oynayıp eve yürürken, büyük ikramiyenin bize çıkmasından ümitleniyor ancak o sırada yıldırım düşmesinden endişe etmiyorsak bu mantıksız bir davranış olur; çünkü o sırada tepemize bir yıldırım düşme olasılığı Sayısal Loto’da 6 tutturma olasılığının 166 katıdır. Yani 166 kez daha mümkün!

Hesap yapabilen tek tür olmamıza rağmen hesap yapmadığımız müddetçe olasılıklara yönelik tahmin yeteneklerimiz oldukça zayıftır.

Bunu anlatabilmek için bir örnek üzerinden soru soralım:

Bir sınıf dolusu insan ele alsak, bu sınıf en az kaç kişi olsa idi sınıfta aynı gün doğmuş iki kişinin bulunma olasılığı neredeyse %100 olurdu?

Hatta bir de şık verelim:

a) 57     b) 183     c) 365     d) 1000


Doğumgünü paradoksu

İlk etapta mantığımız bize 365 diyecektir. Basit mantıkla, 366 kişiyi aynı sınıfa doldurursam, 365’i farklı günde doğsa bile, bir tanesinin de bunlardan birisi ile aynı olacaktır ve böylece %100’e yakın sonucu elde edecektirim.

Garip olan ise yanıtın 57 olmasıdır. Aslında garip değildir. Hesap yapmadığımız için beynimiz burada bir gariplik sezinler. Sanki bir bit yeniği vardır.

Oysa ki olasılık hesapları 23 kişinin bulunduğu bir sınıfta aynı gün doğmuş iki insanın bulunma olasılığının %50 olduğunu –evet, sadece yazı-tura oyunundaki bilme olasılığı kadar- gösteriyor. Sınıf mevcudu 57’ye çıktığında bu olasılık neredeyse %100 oluyor. Kağıt üzerinde falan da değil… Bunu bir gün deneyebilirsiniz hatta.

İşin komiği ise bu problemin paradoks olarak anılması olayın mantıksızlığından değil, bizim mantıksızlığımızdan kaynaklanmaktadır. Gösterdiği şey ise olasılıklar hakkında genelde yanıldığımızdır.
 

Doğumgünü Paradoksu - Kişi sayısına bağlı olasılık diyagramı

İkna olmak için problemi şu iki şekilde değiştirelim:

Birincisi birebir benzetme olsun. Elimizde 1’den 365’e numaralanmış onlarca set tombala pulları olsun. Bunlardan 57 adedini bir torbaya koyalım. Bu torbada iki rakamın birbiriyle aynı olma olasılığı belki şimdi o kadar da uzak gelmemiştir.

İkincisi ise daha farklı bir yoldan olsun. Diyelim ki şimdi evinizi kapısından çıktınız. Karşınızdan gelen 56 insanı durdurup doğum tarihlerini sordunuz. Bunu sadece siz yaptığınızda olasılık o kadar yüksek olmayabilir. Aynı işlemi 56 kişi daha yapıyor olsun… En azından bu 56 kişiden sadece bir tanesinin, karşılaştığı 56 kişiden sadece biriyle doğum tarihlerinin aynı olma olasılığı yüksek değil midir?

Problemimize dönüp özetlersek: Yanıtın 1/365’ten daha karmaşık –ve kolay- olmasının sebebi problemin çözümünün algılandığı gibi, bir A kişisinin kalan 56 kişiyle mukayese edilmesi şeklinde değil, oradaki her bir kişinin, kalan 56 kişiyle mukayesesi şeklinde olmasıdır.

Kanıtlamak için özellikle bir sınıf dolusu insan bulmaya gerek yok.

En iyi erkek oyuncu oskarını alan 73 aktör arasında aynı gün doğan 6 çift varken, 67 aktris için üç çift var. Birleşik Krallığın 52 başbakanı arasında 2 çift aynı gün doğan başbakan vardır. [4]

Bu bilgileri öğrendikten sonra ben de biraz daha bizim tarihimizden örnekler aradım. Mesela, Osmanlı Padişahlarından doğum tarihi gün ve ay olarak bilinen 25 padişahın arasında her ikisi de 2 Ocak’ta doğmuş bir çifte rastlıyoruz (IV. Mehmed ve III. Osman) ve 21 Eylül’de doğmuş bir başka çifte (V. Murad ve II. Abdülhamid) rastlıyoruz. [4].

Ayrıca magazinel içerikli bir web sitesinde “ünlülerin doğumgünleri ve burçları” başlıklı bir liste buldum (tıklayın). 53 kişilik bu listedeki tüm sanatçıları bir sınıfa toplasa idim, burada da değil 1, tam 4 çiftim olacakmış. Nicole Kidman – Türkan Şoray (20 Haziran), Mehmet Aslantuğ – Catherine Zeta Jones (25 Eylül), Nil Karaibrahimgil – Tarkan (17 Ekim), Julia Roberts ve Teoman (20 Kasım).

(Meraklıları için bir adet simülatör adresi ve çözüm sayfası bağlantısını yazı sonuna koyuyorum [6])


Oyun değerini bulmak

Madem olasılıkları değerlendirmek konusunda bu kadar zayıfız, bir şans oyununun ya da kumarın mantıklı olup olmadığını nasıl anlarız?

Bir defa yüksek bir olasılık olmadıkça kumar oynamak mantıklı değildir, ama küçük bir ümit karşılığında bir eğlence aracıdır. Bu yüzden zararsız miktarlarla küçük oyunlar oynamak kimseye büyük bir yıkım getirmeyecektir. Ancak yukarıda saydığımız olasılık oranlarıyla baktığımızda şans oyunlarına ya da kumara servet yatırmak ya da bir ihtiyacı erteleyip kazanma ümidiyle kumar oynamak mantıksız bir davranıştır.

Yine de bize sunulan bir oyunun değerini basitçe hesaplayabilir ve en azından yatırdığımız değerin o kazanca değip değmeyeceğini, oyunun fiyatının pahalı olup olmadığını anlamanın bir yolu var.

Küçük bir örnekten başlayalım:

Diyelim ki size yazı tura oynamayı öneriyorum. Her atışımda 10 TL vereceksiniz. Tahmininiz doğru olursa size %50 fazlası ile iade edeceğim. Yani 15 TL.

Kazanma olasılığı ½’dir. Ödül ise 15 TL. Şu halde her bir atışın gerçek değeri ödül ile olasılığın çarpımı olmak üzere 7,5 TL’dir. Her atış için 10 TL ödemeniz, her zaman geçerli bir kuralın işletilmesi demektir: KASA DAİMA KAZANIR.

Bu mantıkla büyük ikramiye hedefiyle oynadığımız sayısal loto oyununu ele alalım.

25 Şubat tarihinde Milli Piyango İdaresi’nin düzenlediği Sayısal Loto çekilişi, 6 rakamı da tutturan 1 kişiye 1.501.527 TL kazandırmış. Bu oldukça büyük bir rakam. Hem de tek kişi kazanamamış. [5]

İki başlık önce sunduğumuz olasılığı hatırlayalım: 1/13.983.816

Bu olasılıkla büyük ikramiyeyi çarparak oyun değerini bulalım: Yaklaşık 11 kuruş. Oysa Sayısal Loto çekilişi için bir kolon, yani tek bir tahmin ücreti 60 kuruştur. 49 kuruşluk bir fazla değer söz konusudur.

Aynı işlemi Şans Topu çekilişi için gerçekleştirelim. Şans Topu çekilişi 22 Şubat tarihinde 5 kişiye 122 şer bin 903 TL vermiş [5]. Olasılığımız ise 1/3.895.583 idi. Oyun değerini hesaplarsak yaklaşık 3 kuruş buluruz. O haftaki çekiliş için her bir kolon başına 57 kuruşluk bir fazlalık ödenmiş. Bu ikramiyeyi tek kişi kazansaydı oyun değeri 15 kuruş olurdu ve yine 45 kuruşluk bir fark doğardı.

Tabi ki bu farklar, içerisinde bir takım vergileri barındırıyorlar, ancak yine de kural değişmez: KASA DAİMA KAZANIR.


Sonuç

Bazen ümit bizi gereksiz ve mantıksız davranışlara itebilir. Kumarın ve şans oyunlarının, küçük rakamların eğlence ve oyun amacıyla harcandığı basit ve işlevsiz araçlar olması halinde başımız belaya girmez, ancak insanlar varlarını, yoklarını, servetlerini kumarda kaybedebildiklerine göre, bu oyunlar ölçü kaçırıldığında tehlikelidir.

Bir olayın ne kadar muhtemel olduğu konusunda kişisel yargılarımıza güvenmek genelde bizleri hataya sevkeder. Burada kendi deneyimlerimiz bizi yanıltabilirken, başkalarının çok dikkat çekici deneyimleri de bizi hataya sürükleyebilir. O yüzden,

Siz yine de matematiğe güvenin.

(Son not: Aşk ile kumar arasında bir korelasyon yoktur…)


NOTLAR ve KAYNAKLAR:
1) (a) Sayısal loto için: 6! / (49!-43!) (b) Şans topu için: [5! x (34-5)!] / [(34! x 14)]
2) Olasılıklar 2001 yılında, bir kısmı çok uzun dönemli verilere dayanacak şekilde listelenen kurumlardan alınmış verilerden elde edilmiştir: National Center for Health Statistics, CDC; American Cancer Society; National Safety Council; International Federation of Red Cross and Red Crescent Societies; World Health Organization; USGS; Clark Chapman, SwRI; David Morrison, NASA; Michael Paine, Planetary Society Australian Volunteers. (Kaynak: LiveScience.com)
3) Kaynak: İyikidogdun.net
4) Kaynak: Sosyalbilgilerci.com
5) Milli Piyango İdaresi Resmi Web Sitesi – www.millipiyango.gov.tr
6) Rastgele sayı üreterek denemek isteyenler buradan: http://betterexplained.com/examples/birthday/birthday.html Simülatör, bize 23 kişilik bir grup oluşturup her bireye 1 ila 365 arasında rastgele bir sayı ataması gerçekleştiriyor. Basitçe çözümü ise şöyle:
i) 23 kişilik bir sınıftaki olası tüm çiftlerin sayısını bulalım: C(23,2) = 23.22/2 = 253 olası çift.
ii) Bir çiftin birbirinden farklı doğum günü tarihleri olma olasılığı 1-(1/365) = 364/365 = 0.997260
iii) Şu halde tüm çiftler birbirinden bağımsız olduğuna göre tüm olasılıklar birbirleriyle çarpılır: (364/365)^253 = 0.4995
iv) İşte bu bize niçin 23 kişilik bir sınıfta %50 ihtimalle aynı gün doğmuş bir çift bulabildiğimizin ispatını verir.
v) Genelleştirilmiş formül:

7) Anasayfa resmi; Flickr – http://www.flickr.com/photos/robnwatkins/ Lisans: CC BY-NC-ND 2.0